Era dal 1638 che nessuno proponeva una scienza nuova. In quell'anno Galileo pubblicò "Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze" fondando meccanica e scienza dei materiali. (Non conto la scienza nuova di Vico mirata ad altri settori.) Poi negli ultimi 3 secoli, da Newton in poi, è sorta la scienza moderna con tutte le sue rivoluzioni. E da qualche anno Stephen Wolfram annuncia con suono di fanfare un nuovo tipo di scienza. Ora mette on line gratis le mille pagine del suo NKS, A New Kind of Science - su www.wolframscience.com.
Il libro è innovativo, strabiliante, controverso. Propone un'alternativa all'uso dell'analisi matematica per analizzare e modellare i fenomeni fisici. Wolfram ha già fatto molto per la matematica. Ha creato (e affinato negli ultimi decenni) il software Mathematica, basato su un suo linguaggio di programmazione, con cui si risolvono in modo automatico problemi matematici: dalla teoria al calcolo numerico e grafico.
Chi usa il programma, scrive in linguaggio simbolico formule anche complicate (integrali, funzioni, derivate, matrici) con variabili reali o complesse. Mathematica fornisce formule risolutive e calcola anche i valori dei risultati. Solo gli addetti ai lavori, forse, apprezzano l'enorme utilità dello strumento. Quando ne sentii parlare la prima volta, ero incredulo. Ormai in tutto il mondo scienziati e tecnici di punta lo usano.
Wolfram continua ad affinare e a fornire Mathematica. Inoltre lavora da anni alla sua nuova scienza. Partì constatando che semplici programmi (di computer o di applicazione di regole logiche) possono produrre strutture complesse che modellano ogni sorta di processi - fisici e biologici. Propone congetture molto ambiziose e usa uno strumento molto semplice: gli automi cellulari. Wolfram sta precisando e cercando di dimostrare il Principio di Equivalenza Computazionale:
"Esiste una equivalenza fondamentale fra molti tipi diversi di processi, se sono visti in termini computazionali. Nessun sistema può realizzare calcoli espliciti più sofisticati di quelli effettuati da automi cellulari. Esistono automi cellulari universali per i quali si possono scegliere condizioni iniziali tali che, partendo da esse, eseguano calcoli di ogni possibile complessità."
Tutto ciò sembra difficilissimo e astratto. Diventa concreto spiegando come funzionino gli automi cellulari. Somigliano a LIFE un gioco inventato da John Conway, matematico di Princeton. Si fa con carta a quadretti: si anneriscono alcuni quadretti, poi si procede per passi. A ogni passo un quadretto nero resta nero se confina con 2 o 3 neri, diventa bianco se ne ha intorno 0, 1, 4, 5 o 6 neri. A ogni passo un quadretto bianco diventa nero, se confina con 3 neri. Le configurazioni iniziali scelte cambiano forma, si evolvono, viaggiano per il foglio. Talora scompaiono perchè escono dai bordi del foglio o perchè si annichilano. Il gioco è descritto su www.math.com/students/wonders/life/life.html. Il sito offre anche una griglia quadrettata su cui sperimentare in diretta. Clicchi col mouse su alcuni quadretti a scelta e stai a vedere che vita fa la configurazione che hai scelto.
Ma torniamo agli automi cellulari, che non sono un gioco. I più semplici partono con un solo quadretto nero su una griglia quadrettata. Poi registriamo nelle righe seguenti quadretti bianchi o neri in base a semplici regole. Queste definiscono se un quadretto di una linea debba essere bianco o nero in funzione del colore del quadretto sovrastante e dei 2 che ha ai lati. Ci sono 8 configurazioni possibili dei 3 quadretti (3 bianchi, 2 bianchi e un nero[in 3 posizioni possibili], 2 neri e un bianco [in 3 posizioni possibili], 3 neri). Ci sono 256 regole diverse per definire quando il quadretto sottostante debba essere nero. Come illustrato a destra nella Fig.1, la regola scelta qui è:
"In ogni riga un quadretto è bianco se e solo se i due ai lati di quello sovrastante sono ambedue bianchi, altrimenti è nero." - cioè il quadretto sottostante è nero nelle 8 configurazioni dei 3 soprastanti che indichiamo con un 1 nella sequenza: 1 1 1 1 1 0 1 0 (che in base 2 si legge 250). La Figura 1, mostra a sinistra come si riempiano le righe successive alla prima (che ha un solo nero) seguendo la regola detta. Ne consegue la configurazione a scacchiera rappresentata. E' regolare e continua a riempire metà del piano nello stesso modo.
A intuito, diremmo: "Qualunque regola si segua, il disegno che viene fuori sarà sempre regolare." Non è così.
Partiamo di nuovo da un solo quadretto nero. Applichiamo la regola che in ogni riga un quadretto è bianco se il quadretto corrispondente nella riga superiore e i 2 che ha a lato sono neri oppure se il quadretto corrispondente nella riga superiore è bianco e ha un bianco a destra. Il disegno che viene fuori si sviluppa solo a sinistra. Già dalle prime 150 righe - rappresentate in Figura 2 - si vede che è irregolare. Lo si vede meglio in Fig.3 in cui sono riportate 700 righe. La regola ora usata ha il numero 110 (il quadretto sottostante è nero nelle 8 configurazioni dei 3 soprastanti che indichiamo con un 1 nella sequenza: 0 1 1 0 1 1 1 0 - vedi riga in basso a sinistra di Fig.2).
E' interessante che la regola 110 è universale. Usandola ripetutamente e partendo da sequenze iniziali più complesse (invece che da un solo quadretto nero), si ottiene ogni possibile configurazione. E' ancora più interessante che alcune configurazioni rappresentano accuratamente ogni sorta di processi fisici: moto di corpi, campi elettrici, magnetici e gravitazionali. Questi fenomeni, però, sono modellati molto bene con equazioni matematiche ben note. Gli automi cellulari di Wolfram rappresentano bene anche fenomeni molto complessi come le volute apparentemente caotiche, dei moti turbolenti di fluidi ad alta velocità. Questi processi, invece, non si analizzano agevolmente per mezzo di equazioni matematiche
Queste constatazioni giustificherebbero il Principio di Equivalenza Computazionale, che Wolfram presenta insieme come una legge della natura o una definizione o un insieme di fatti astratti. La congettura essenziale è che le configurazioni o immagini prodotte dagli automi cellulari possono rappresentare e, in certo senso, spiegare ogni processo fisico, chimico, biologico. Sarebbe una via per spiegare come si generi l'enorme complessità delle forme animali e vegetali. Questo lavoro immane e affascinante non è ancora completato. Wolfram continua a lavorarci con i suoi collaboratori.
Si tratta di una struttura ramificata e illimitata. Può essere usata per generare frattali e anche per simulare macchine di Turing. [Queste sono semplicissime strutture logiche concettuali (non costruite in pratica) capaci di simulare il comportamento di qualsiasi possibile computer.]
E' molto difficile prevedere dove porteranno queste ricerche. Le procedure fisico-matematiche tradizionali da Newton in poi ci hanno preparato al punto di vista che gli stessi strumenti logico-matematici si possano usare in contesti diversi. Infatti le stesse equazioni e le stesse formule descrivono con alta precisione processi fisici molto diversi: le azioni di campi elettrici, magnetici, gravitazionali, i flussi di elettricità, di calore e di fluidi e così via.
Mi sembra, però, che esista una difficoltà seria. Non pare che sia stato trovato un modo per determinare quali siano le regole di generazione degli automi cellulari che portano a produrre configurazioni che descrivono certi fenomeni piuttosto che altri. Se davvero, le regole da applicare andassero sempre cercate a caso, lo strumento sarebbe difficile e lento da applicare. Altra obiezione ancora più basilare: "Con un modello matematico tradizionale da certe premesse si deducono relazioni analitiche che permettono di formulare previsioni. Ad esempio, facciamo l'ipotesi che i gravi si attraggano con forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza e direttamente proporzionale al prodotto fra le masse. Su questa base e postulando che le accelerazioni sono proporzionali alle forze applicate, deduciamo le orbite dei pianeti e le traiettorie dei gravi nel campo gravitazionale terrestre. Invece con la nuova scienza di Wolfram si constata che certe traiettorie sono disegnate da un automa e risultano identiche a certi processi meccanici o di moto di particelle cariche in un campo elettrico. Allora si può dire:
"Curiosa coincidenza"
Però non si formalizza un meccanismo di spiegazione, nè si possono prevedere risultati futuri di esperimenti - che è l'obiettivo centrale della fisica matematica.
Ma sarebbe sbagliato saltare a conclusioni affrettate. Questa scienza di nuovo tipo contiene complessità, ragionamenti, distinzioni e aperture ben più vaste di quelle che ho illustrato in questo breve testo.
Basta pensare che le regole possono dipendere non solo da 3 celle di uno stadio precedente ma da molte di più. Un salto ancora più ardito (e difficile da trattare) si può fare non limitando solo a 2 i colori dei quadretti. Ne potremmo considerare 4, 8, 16 o anche molte migliaia. Gli automi a 2 colori applicano regole derivate dalla logica a 2 valori - quella aristotelica che accetta il principio di non contraddizione (tertium non datur). Usando più colori bisogna ricorrere a logiche multivalenti. Queste sono già state studiate da anni, ma sono difficili da usare: i risultati vanno computati passo passo - non riusciamo a intuirli.
Vale la pena di cominciare a interessarsi di questi sviluppi. Forse i nostri nipoti a scuola impareranno gli automi cellulari, prima o, invece, dell'algebra.
Per leggere i testi di conferenze in cui Stephen Wolfram illustra con semplicità le sue complesse invenzioni, collegarsi a www.stephenwolfram.com/publications/talks/
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Figura 1 - Automa cellulare: in ogni riga un quadretto è bianco se quello corrispondente nella riga superiore ha 2 bianchi ai lati, altrimenti è nero.
(Da libro NKS p. 25)
Figura 2 - Automa cellulare con regola 110: in ogni riga un quadretto è bianco se il quadretto corrispondente nella riga superiore e i 2 che ha a lato sono neri oppure se il quadretto corrispondente nella riga superiore è bianco e ha un bianco a destra. La figura mostra le prime 150 righe.
(Da libro NKS p. 32)
Figura 3 - Automa cellulare con regola 110, come in Figura 2, ma continuato per 700 righe
(Da libro NKS p. 33)
Esempi di configurazioni di LIFE RIQUADRO 1
Configurazione che si ottiene dopo 1303 passi partendo da "Pentomino":
cioè dalla configurazione costituita da 5 celle: 3 in verticale più una a destra della superiore e una a sinistra dell'intermedia. I 4 gruppi di 3 celle in verticale pulsano trasformandosi in 3 celle orizzontali, di nuovo in 3 verticali e così via.
Invece la configurazione qui sotto:
si chiama glider, cioè aliante. I quadratini che scompaiono e quelli che nascono fanno in modo che la configurazione si sposti verso l'alto e verso destra -- vola via. La configurazione simmetrica rispetto all'asse centrale verticale, invece, vola via verso sinistra in alto. Il pentomino produce 6 alianti prima di raggiungere la configurazione stabile rappresentata in figura.
RIQUADRO 2
Gli automi cellulari possono crescere anche in 2 dimensioni. In questi caso esiste un centro di simmetria e lo sviluppo della configurazione iniziale sembra produrre modelli delle forme assunte da fiocchi di neve. Wolfram commenta che queste regole e le forme che ne derivano non possono servire a modellare, nè a prevedere a che velocità cresca ognuna delle sei protuberanze a una data temperatura.
(Da libro NKS p. 371)
Altra immagine di struttura generata da un automa cellulare (da libro NKS p. 67) -- ha un aspetto funerario o gotico, ma non ha certo solo carattere ornamentale.
