scienze

Sembra più corto ai vecchi il tempo che passa?
[ovvero La percezione del tempo è logaritmica in funzione dell'età?
di Roberto VACCA - Newton, Settembre 2002

Nemo est tam senex ut non putet se unum annum posse vivere (Nessuno è tanto vecchio da non credere di poter vivere ancora un anno) questa frase di Cicerone implica che speriamo nella longevità fino alla fine - non che il tempo sembri passare più in fretta. Questo lo sosteneva Orazio, scrivendo nell'Ode dedicata a Postumo che gli anni si consumano fugaci. Lo sostiene anche in modo competente, sulla sua pagina Web, James M. Kenney, ingegnere americano specializzato in circuiti per microonde a semiconduttori (http://ourworld.compuserve.com/homepages/jmkenney/).
Questa convinzione basata sull'introspezione - sul modo in cui analizziamo le nostre impressioni soggettive - fa parte della saggezza tradizionale. Kenney dichiara di non essere stato il primo a sostenerla - e la espone in modo elegante e ordinato.
Lo sappiamo bene: se siamo costretti ad aspettare qualcuno e non facciamo niente, i minuti e le ore non passano mai. Se, invece, lavoriamo alacremente o ci divertiamo, il tempo vola. E come percepiamo il passaggio dei tempi lunghi - degli anni? Secondo alcuni gli anni di scuola o le vacanze estive ci sembrano interminabili quando siamo ragazzi. Invece le persone di mezza età e i vecchi vedono la propria infanzia come lontanissima e lunga, mentre sentono che le stagioni e gli anni trascorrono sempre più veloci.
E' intuitivo che un anno sia più importante (e sembri più lungo) a chi è più giovane. Se trascorre per un bimbo di un anno, gli raddoppia la vita. A un decenne la allunga del 10%; a un quarantenne del 2,5% e a un centenario solo dell'1%. Kenney suppone, allora, che non percepiamo il valore assoluto del tempo che passa, ma la percentuale di cambiamento della durata corrente della nostra vita, causata da quel trascorrere di tempo. Suggerisce anche una formula per calcolare di quanto si accorcia - nella nostra percezione - il tempo che ci resta da vivere.
Chiamiamo D la durata prevista (in base a tabelle statistiche, per intuito o in altro modo) della nostra vita ed E la nostra età attuale. Allora il rapporto
(D -E)/D sarà uguale a quello fra la differenza fra E e un'età precedente P e la nostra età attuale E, cioè:

(D -E)/D = (E - P)/E

da cui possiamo determinare quale sia quell'età precedente P.

DE - E2 = DE - PD da cui
P = E2/D

Quindi il tempo che ci resta da vivere (D-E) lo percepiremo uguale a (E-P), cioè più corto di quello oggettivo nella proporzione E/D.
Esempio: hai 40 anni e supponi che vivrai fino a 80 anni [E = 40, D = 80] quindi

P = 402/80 = 1600/80 = 20

Cioè i 40 anni che ti restano da vivere passeranno dandoti l'impressione di durare la metà - cioè quanto l'intervallo dai tuoi 20 ai tuoi 40 anni.
Kenney non pretende di dimostrare questa corrispondenza: si tratta di un'impressione soggettiva. E da che cosa può dipendere questa percezione contratta del tempo? Secondo lui questa ipotesi è corroborata dalla ben nota legge fisica della percezione scoperta oltre un secolo fa da Ernst Heinrich Weber e Gustav Theodor Fechner. Secondo questi scienziati tedeschi se un osservatore riceve un certo stimolo esterno, si renderà conto che è variata l'intensità dello stimolo solo se la variazione relativa supera una soglia minima, la quale è proporzionale all'intensità stessa. Fechner interpretò questa relazione nel senso che l'intensità della sensazione è proporzionale al logaritmo dell'intensità dello stimolo che la produce. [Vedi RIQUADRO per una spiegazione in termini matematici].
Stiamo parlando di percezioni soggettive. Per capirle meglio sono ricorso all'introspezione. Ho riflettuto sul mio ultimo decennio (da 65 a 75 anni) e non mi è sembrato affatto che sia trascorso tanto velocemente. E' stato denso di eventi. Ho lavorato, ho studiato e ho capito parecchie cose nuove. Quando avevo 68 anni mi sono sposato e ho avuto un figlio. Ho pubblicato 12 libri. Questo del numero di libri pubblicati può essere un buon parametro: così ho contato quanti fossero negli ultimi 4 decenni - ecco il risultato in tabella:

Fra i 35 e i 45 anni ho pubblicato	4 libri
Fra i 45 e i 55 anni ho pubblicato	8 libri
Fra i 55 e i 65 anni ho pubblicato	11 libri
Fra i 65 e i 75 anni ho pubblicato	12 libri

Questi numeri sembrano confermare la mia impressione che gli anni mi stanno passando lentamente- rispetto a tutte le cose che faccio.
Ho consultato, allora, l'ultima versione di un lavoro in cui il fisico Cesare Marchetti [Productivity vs. Age, IIASA 2002] analizza la produzione nell'arco della vita di scienziati, cinematografari, criminali, atleti, artisti. Ne deduce una tesi deterministica: "La curva che rappresenta, in funzione del tempo, il totale delle opere di un creativo (quadri, sonate e sinfonie, libri) è una curva logistica fatta a S (all'inizio cresce lentamente, poi sempre più veloce, poi rallenta e la pendenza cala fino a raggiungere un valore costante detto asintoto (v.figura seguente). L'artista si esaurisce quando la somma delle sue opere ha raggiunto circa il 95% dell'asintoto finale - e muore ".
Il caso più noto, e triste, è quello di Mozart che raggiunse il 95% del suo massimo teorico di 650 composizioni all'età di 37 anni - e puntualmente morì. Altri casi citati da Marchetti sono:


Autore Età della morte (dopo aver prodotto il 95% del numero massimo di opere, secondo Marchetti) Numero massimo teorico di opere secondo una curva logistica

Autore	Eta' della morte (dopo aver prodotto il 95%del numero max di opere,secondo Marchetti)	Numero max di opere secondo una curva logistica
Ravel	62	97
Tintoretto	82	335
Shakespeare	52	37 (solo teatro)
Botticelli	66	165
Boltzmann	62	250

Tragico il caso di Boltzmann, che, arrivato all'età di 62 anni, si suicidò. In effetti già Marchetti cita varie eccezioni. Ad esempio Rossini a 35 anni arrivò al 95% del suo massimo teorico, ma morì a 76. Per affermare che la regola suggerita da Marchetti vale davvero, occorrerebbe controllare come siano andate le cose in moltissimi altri casi. Dubito che ne valga la pena. Per ora i casi citati possono essere considerati come curiosità (in attesa che qualcuno faccia la fatica di analizzare tante altre storie di artisti - o di criminali: la regola varrebbe anche per il numero dei loro delitti). Ho costruito, comunque, la curva cumulativa dei libri che ho scritto. Il diagramma è riportato nella figura seguente.

Finora ho pubblicato 35 libri. Il mio massimo teorico dovrebbe essere 45. Il 95% di questo valore è 43: dovrei raggiungerlo nel 2019 - decedendo, quindi, a 92 anni.
Se ragioniamo sulla forma delle curve logistiche a S come quella in figura, vediamo che in età avanzata anche i creativi in effetti rallentano la loro produzione. Fanno meno cose, producono più raramente eventi memorabili e gli anni sembrano anche a loro scorrere più veloci. Ma quando succede tutto questo? Quando possiamo dirci vecchi? Possiamo valutarlo solo per confronto con la durata media della vita umana (gli statistici la chiamano speranza di vita alla nascita) che sta notoriamente crescendo come illustrato dalla tabella seguente (tratta da fonte ISTAT):

Anno	Durata media della vita degli italiani(anni)
1932	55
1950	65,5
1960	69,5
1970	71,5
1975	72
1981	74,5
1998	78,7

E' plausibile che anche la durata media della vita umana cresca seguendo una curva logistica. L'ho calcolata ed è rappresentata nel diagramma seguente. Si vede che nella seconda metà del XXI secolo dovremmo raggiungere in Italia una durata media della vita di circa 87 anni.

Però siamo ancora abituati a vedere le cose secondo schemi mentali tradizionali, secondo i parametri dei nostri padri. Così anche sui giornali una persona di 65 anni viene descritta come anziana (era la durata media della vita mezzo secolo fa). In effetti poichè la vita si è allungata in media da 65 a 80 anni, una persona di 65 anni sta in condizioni simili a quelle in cui 50 anni fa stava uno di 65 . (65/80) cioè uno di 53 anni -- è un giovanotto.
Non ci buttiamo giù con l'età. Continuiamo a inventare, imparare, produrre. Così la nostra vita scorrerà calma, densa, soddisfacente.

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RIQUADRO - Spiegazione (per chi sa un po' più di matematica)
Chiamiamo p il passaggio del tempo percepito e dp la sua variazione elementare. Chiamiamo t il tempo oggettivo - segnato da orologi e calendari e dt la sua variazione elementare.
Accettiamo l'ipotesi che percepiamo il tempo che trascorre per noi come tanto più breve, quanto maggiore è l'età che abbiamo alla fine di quell'intervallo. Allora possiamo impostare questi semplici calcoli.

dp = dt/t

Se integriamo questa relazione, otteniamo

p = log (t) + costante

e per un incremento finito da p a p', corrispondenti a tempi oggettivi t e t'

p' - p = log (t') - log (t) = log (t'/t)

cioè l'incremento percepito dipende solo dal rapporto fra i corrispondenti tempi oggettivi e non dai loro valori assoluti. Tutte le coppie di valori t e t' che hanno lo stesso valore del rapporto t/t' corrispondono allo stesso valore di (p' - p).
Ricordiamo che quando parliamo di suoni (o di variabili ad andamento sinusoidale), un'ottava è l'intervallo di frequenza da una qualunque frequenza f alla frequenza doppia 2f. (Il do dell'ottava superiore, che troviamo facilmente sul pianoforte, è più acuto - ha frequenza doppia - del do precedente). In base a questa considerazione sull'andamento logaritmico dei tempi percepiti (cioè sull'importanza solo dei rapporti fra tempi oggettivi e non dei loro valori assoluti), sarebbe ragionevole contare le nostre età per ottave invece che per decenni. Dopo il primo anno, considereremmo allora il biennio seguente e poi il quadriennio e così via. La nostra vita, classificata come indicato nella tabella seguente, finirebbe al massimo nel corso della settima ottava.

Ottava	Compresa fra le età di anni
I	0 - 1
II	2 - 3
III	4 - 7
IV	8 - 15
V	16 - 31
VI	32 - 63
VII	64 - 128